1-En esta imagen observamos una dipirámide  de seis caras en planta, alzado y perfil, es una figura formada por dos pirámides unidas por la base.  A su derecha observamos el desarrollo de la figura que es el despliegue de sus caras para extenderla sobre un plano y en el centro inferior de la figura observamos en la perspectiva axonométrica de la dipirámide.

2- Podemos observar otra dipirámide a la izquierda en planta alzado y perfil, esta vez la figura tiene dos pirámides de 5 caras triangulares laterales cada una, en total la figura tiene 10 caras.

A la derecha en el borde superior podemos ver la perspectiva de la dipirámide en la parte inferior el desarrollo de la misma.

3- En la figura 1 observamos una pirámide,  si hacemos su simétrica respecto a la base obtenemos la dipirámide de la figura 5,  al hacer un giro a 60º respecto al eje vertical que pasa por los vértices extremos de ambas pirámides obtenemos la configuración de la figura 2,  si bajamos la pirámide roja sobre ese eje hasta que la arista lateral intercepte a la arista de la base verde obtenemos la configuración número 3,  si quitamos las pirámides inferior y superior obtenemos  las pirámides CD del número 4.

Si además de quitar esas pirámides quitamos también las laterales de ambas figuras, o lo que es lo mismo, si hacemos la intersección de las dos pirámides de la configuración 3 obtenemos la dipirámide u octaedro irregular del número 6, por regla general sale irregular ya que la pirámide  tiene una altura cualquiera.

Si a ese octaedr  irregular o o dipirámide le añadimos las dos pirámides del número 4 obtenemos el deltaedro de la figura número 7, es realmente un prisma oblicuo, y un prisma oblicuo es el caso límite de los deltoides del deltoedro que se transforman en rombos.  Como podemos observar aparte de prisma oblicuo y deltoedro es también un octaedro o dipirámide oblicua a la que se le han añadido las dos pirámides del número 4.

Una vez que tomamos esta figura la representamos con sus partes constituyentes en distintos colores en el número 8 mientras que en el número 9 vemos ya las vistas en diédrico de la misma figura con las divisiones pero con los colores originales, por último al hacer la unión de la dipirámide  del número 6 y las pirámides del número 4  obtenemos el prisma oblicuo de la Figura 7, 8, 9, 10.

 En la Figura 11 hemos puesto el octaedro irregular apoyado en una cara, como podemos observar no es regular ya que en el perfil los vértices extremos no cortan a la arista central ortogonalmente.

 Dibujo de la  dipirámide construida con dos tetraedros regulares unidos por la base

4- Si tomamos un cubo y cogemos su diagonal principal tal y como aparece en el borde superior izquierdo esa línea que llamamos eje, al hacer un giro del cubo respecto a ese eje diagonal dejamos registro de 4 cubos en su movimiento, de esta manera obtenemos la figura que sale a su derecha en planta y alzado, el eje está en posición vertical y provoca la composición de los cuatro cubos de color cuya proyección en planta tiene esa forma estrellada.  En el alzado podemos observar el entrelazamiento de los cuatro cubos de manera que los vértices extremos están alineados en verticales, eso quiere decir que la intersección de los distintos cubos genera la figura que está a su derecha que es una dipirámide.

Más a la derecha hemos colocado la misma figura y hemos hecho una copia de la dipirámide y la hemos girado 90 grados superponiendo ambas, la composición de ambas figuras genera un poliedro compuesto con el contorno de estrella de cuatro puntas que aparece en el alzado mientras que a su derecha observamos la intersección de ambos ambas dipiramides. 

5- En el borde superior izquierdo observamos la planta, alzado y perfil de dos cubos que se cortan de manera que tienen coincidente la diagonal principal, en el borde superior derecho vemos la intersección de ambos cubos, realmente son las proyecciones de una pirámide de 12 caras.  Esta figura está apoyada en una de sus caras triangulares.

En el centro de la figura en color azul y verde observamos esa misma dipirámide de manera que el eje longitudinal es una recta vertical mientras que a su derecha en rojo y azul observamos nuevas proyecciones de la figura y en el borde inferior izquierdo observamos distintas perspectivas del poliedro compuesto formado por los dos cubos entrelazados.

6-Observamos nuevamente un eje de giro que deja registro de cuatro cubos provocando un poliedro compuesto cuyas proyecciones en planta, alzado y perfil aparecen en el borde superior izquierdo.  Inmediatamente debajo en color rojo aparece el cubo de manera que el eje vertical provoca las proyecciones de ese cubo rojo.

 En el centro superior de la figura observamos la posición del cubo en planta, y alzado en amarillo y azul con las proyecciones del eje de giro, según esta colocación del cubo la figura que sale al aplicar la transformación es el conjunto de cubos que aparecen a su izquierda-

 En la parte inferior central de la figura aparecen los 4 cubos de manera que el eje está vertical como en la posición de su izquierda del cubo rojo, la intersección de estos cubos nos genera la dipirámide del borde inferior derecho, representada en planta, alzado y perfil.

En la parte superior derecha de la figura podemos observar con más detalle el alzado del conjunto de cubos con la intersección de las distintas caras.

7- Al igual que en el caso anterior podemos observar la misma posición del eje de revolución respecto a los cubos, por regla general podemos decir que cada vez que dejamos registro de  los movimientos  del cubo, si  el número de registros es par sale una dipirámide mientras que si es impar sale un deltaedro.  Ello es debido a que, tal y como vemos en el borde inferior derecho, los vértices extremos del caso par son coincidentes sobre imaginarias líneas verticales, cuando esos vértices no coinciden la figura que se forma es el deltoedro, como pasa en el caso impar de siete cubos.

8- Volvemos a ver un caso similar al anterior pero con 5 y 4 cubos, en el caso impar de la izquierda la intersección de los 5 cubos entrelazados provoca un deltoedro mientras que en el caso par de 4 cubos de la derecha observamos como resultado una dipirámide

9- En el borde superior derecho observamos un prisma en color magenta, al igual que en las figuras anteriores del cubo cogemos el eje principal que es aquella diagonal que pasa por vértices opuestos de la figura, al hacer el giro del prisma respecto a ese eje y dejar registro de 6 prismas, observamos el poliedro compuesto que se genera en la figura formada por múltiples prismas magentas y el original en color verde.  Podemos observar la intersección de esos prismas en la dipirámide de color rojo. Observamos a la derecha en 3 prismas de color azul verde y rojo cuya intersección no provoca una dipirámide sino una figura formada por caras laterales triangulares, lo que era una tónica general para el cubo con la diagonal principal como eje, deja de serlo cuando alargamos el cubo y lo convertimos en un prisma de  distinto tamaño.

10- En la imagen podemos observar en su parte inferior 7 cubos con la posición de distintos ejes de revolución, observamos que el eje sale de un vértice del cubo o bien sale de la mitad de una arista para llegar hasta un vértice, o mitad de arista o centro de la cara opuesta.

Al hacer la misma transformación que en los casos anteriores, esto es, hacer un giro del cubo respecto a ese eje nos queda una composición de cubos que aparecen inmediatamente por encima de las perspectivas de esos cubos, en la parte central de la figura.

 Observamos en la parte superior la intersección de esos tres cubos la obtención de distintas figuras parecidas a dipiramides. En el primer y cuarto caso las figuras están formadas por deltoides y triángulos. En el tercer caso son dos pirámides unidas por un prisma. En el quinto caso es una figura afín a la primera pero dejando los deltoides debajo y los triángulos por encima. Lo mismo en el sexto caso.

Podemos observar que en el segundo caso aparece una bipirámide. En el séptimo caso también aparece una bipirámide ya que el eje de giro coincide con el plano de la diagonal principal y su eje de giro es un segmento de vértice a vértice opuesto.

11- En el borde superior derecho podemos observar un cubo de color rojo que se ha girado en torno a su diagonal principal (de vértice a vértice opuesto), de manera que al hacer una vuelta completa deja registro de otro cubo que aparece en color verde, el cubo está representado por sus tres vistas en sistema diédrico.

A su derecha podemos observar la intersección de ambas figuras que es realmente una dipirámide. El mismo dibujo lo podemos observar a la derecha en modo alámbrico.

 En la parte inferior observamos exactamente la misma figura pero tanto la composición de los cubos como la intersección están en una posición oblicua, mientras que a su derecha observamos varias perspectivas axonométricas de la dipirámide.

12-  Podemos observar en la parte superior de la imagen en planta y alzado dos tetraedros que forman un poliedro compuesto, a su derecha observamos la intersección que es realmente un octaedro regular, esta figura es una dipirámide ya que está formada por dos pirámides de base cuadrada unidas por sus bases.

En la parte inferior a la izquierda observamos otra proyección de los tetraedros con un contorno estrellado en el alzado y a su derecha una perspectiva axonométrica del octaedro regular. 

13-   En el borde superior izquierdo podemos observar los dos tetraedros entrelazados el dibujo anterior y cuya intersección es la dipirámide en octaedro regular que aparece inmediatamente debajo.  A su derecha en el número uno dos y tres observamos en el primero el tetraedro, en el segundo el entrelazamiento de ambos tetraedros y en el tercero la intersección de los dos tetraedros que provoca el octaedro regular.

A la derecha en color verde parece un octaedro regular con un eje vertical de vértice a vértice opuesto.

Al hacer un giro de esta figura en torno al eje y dejar registro de tres octaedros tras una vuelta completa obtenemos en planta, alzado y perfil la las vistas de esa figura, tal y como aparece en el borde inferior izquierdo de la imagen.  Debajo del perfil aparecen los 3 tetraedros en perspectiva conformando un poliedro compuesto.

A la derecha podemos observar la intersección de los tres octaedros, el resultado es una dipirámide formada por dos pirámides de 12 caras triangulares laterales cada una.

14- Ejercicio semejante al anterior pero con 5 octaedros regulares, podemos observar en la parte superior los cinco octaedros entrelazados en planta  y alzado, a la derecha podemos observar la intersección de estas cinco figuras también en planta y alzado.

 En el borde inferior observamos distintas perspectivas del poliedro compuesto y del resultado final la dipirámide de 20 caras laterales, para cada una de las pirámides.

En el borde superior izquierdo de la imagen observamos un cubo con la posición de un eje que va desde la mitad de una arista hasta el centro de la base.

15- En el borde superior derecho observamos un cubo y su eje de revolución. Al hacer un giro de este cubo  de 360° respecto a ese eje,  obtenemos un registro de 2 a 6 cubos según aparece en la imagen central con la composición de los mismos, como podemos observar al girar los cubos quedan registrados varios con ángulos iguales, por ejemplo en el caso de tres cubos uno respecto a otro ha girado 120 grados que es un tercio de los 360 grados o vuelta completa.

 La composición de todos esos cubos que aparecen por el centro son representados ahora en la franja superior, en la intersección que provoca, como podemos observar, en algún caso se da la dipirámide, como por ejemplo en el caso de 6 cubos, en el caso de 4 y 5 cubos la figura está formada por una forma semejante a una pirámide con triángulos simétricos a pares y con un deltoide que conforma la mitad de un deltoedro.

En el caso 1 aparece una dipirámide asimétrica y en el caso 2 aparece una figura parecida a un cubo con apariencia de deltoedro, ya que un cubo es realmente un deltoedro de seis caras.En   las franjas inferiores podemos observar distintas perspectivas de los poliedros compuestos y de sus intersecciones.

16- En el  número tres observamos una pirámide con un eje de revolución que pasa por la mitad de una arista lateral y el vértice opuesto de la base, al hacer un giro de 360 grados de la pirámide en torno a ese eje obtenemos en el número uno la planta y alzado de la composición de las pirámides mientras que en el número 2 observamos el resultado de hacer la intersección de las mismas.  Como podemos observar es una figura parecida a una dipirámide pero el tramo superior es de menor dimensión y los triángulos laterales no son isósceles sino escalenos, lo que provoca en la intersección de las dos figuras un conjunto de líneas en apariencia de zig zag circular.

Observamos que la planta de la figura 2 tampoco tiene todos los puntos equidistantes del centro debido a los triángulos escalenos.

 En el número 4 y 5 observamos la perspectiva de la figura intersección mientras que en el 6 y 7  observamos la perspectiva axonométrica de la composición de las pirámides.

17- Podemos observar nuevamente en el número 3 una pirámide que como en el ejercicio anterior el eje de revolución pasa por el vértice de la base y una arista lateral opuesta.

 Al hacer un giro de la figura y dejar registro de cinco pirámides con ángulos iguales obtenemos en planta y alzado en el número 1 la composición de las pirámides mientras que en el número 2 obtenemos la intersección de las mismas.

En el número 4, 5, 6 y 7 observamos perspectivas del poliedro compuesto mientras que el número 9, 10 y 11 observamos la intersección de las pirámides en un nuevo poliedro compuesto por triángulos escalenos y deltoides, una figura parecida a una dipirámide.

18-  Podemos observar en el borde superior derecho una pirámide atravesada por un eje de revolución paralelo a la base y que pasa por la mitad de las aristas laterales, al hacer el giro de la pirámide y dejar registro en los 360° de cinco pirámides, obtenemos en planta y alzado el poliedro compuesto que aparece en el borde superior izquierdo, inmediatamente a su derecha aparece la intersección de esas pirámides, un poliedro que parece una pirámide según vemos su proyección en planta, pero una observación atenta a la figura nos muestra que las caras triangulares son formas asimétricas, triángulos escalenos que nos dicen que realmente no está formada la figura por dos pirámides, de ahí se desprende que en el alzado el contorno de los puntos o vértices de esos triángulos no sean equidistantes del centro de la figura.

 En la parte inferior y a la derecha de la planta del poliedro intersección podemos ver varias perspectivas de ambas figuras, el poliedro compuesto y la intersección de esas pirámides.

19- Siguiendo el método anterior hemos cogido un prisma de base pentagonal regular y lo hemos atravesado por un eje desde la arista de la base al vértice opuesto de la cara superior. al hacer un giro y registro de 6 prismas - número 1- obtenemos en planta y alzado la figura que sale a su derecha, podemos observar más a su derecha la intersección de los prismas que nos provoca una dipirámide, también en planta y alzado - número 2.

 En el número 3 y 4 observamos distintas perspectivas axonométricas de la dipirámide mientras que en el 5 y 6 observamos el poliedro compuesto formado por los 6 prismas rectos de base pentagonal regular.

20- Podemos observar exactamente el mismo ejercicio en el anterior pero en vez de utilizar 6 prismas hemos utilizado 8 prismas, como podemos observar en el número uno tenemos la planta y alzado de la composición de prismas mientras en el número 2 tenemos la planta y alzado de la dipirámide que es la intersección de esos prismas.

Del número 3 al número 7 podemos observar distintas perspectivas axonométricas del Poliedro compuesto y de su intersección.

21-   En el borde superior izquierdo podemos observar un prisma con un eje de revolución que es su diagonal principal, al hacer un giro del prisma en torno a ese eje y dejar registro de 5 prismas obtenemos la figura del número 5 mientras que la figura del número 6 es un registro de 6 prismas.  Como podemos observar en el número 6 parece una dipirámide aunque los triángulos escalenos laterales nos informan de que realmente es una figura parecida a la del número 5 formada por triángulos escalenos. En la figura 6 las caras laterales son prácticamente triángulos isósceles .

 En la parte inferior del dibujo podemos observar distintas perspectivas de ambos poliedros compuestos y los poliedros que son objeto de la intersección de las anteriores prismas.

22- En la figura número uno observamos tres prismas entrelazados en planta alzado y perfil, son prismas de sección cuadrada que provocan como intersección un poliedro de Catalan dibujado en planta, alzado y perfil en la figura 2, se llama rombododecaedro y está formado por caras que son rombos.

 En el número 11 observamos los tres prismas y su posición en la dirección de los ejes cartesianos, en el número 5 observamos ya los tres prismas entrelazados generando un poliedro compuesto por los tres, en el número seis podemos observar la intersección de los 3 prismas que nos genera el rombododecaedro, también aparece la perspectiva de esta figura en el número 7, 8 y 9, en el número 12 observamos como al coger el rombododecaedro y quitarle pirámides obtenemos la figura número 10 que es una bipirámide u octaedro regular.

 En el número 3 observamos los tres prismas entrelazados de manera que sus ejes coinciden con los de una axonometría isométrica mientras que en el 4 aparece la intersección de los 3 prismas, una proyección del rombododecaedro con apariencia de cubo.

23- Podemos observar las mismas figuras que el ejercicio anterior, el número 2 en color azul la intersección de los 3 prismas mientras que en el número 3, 4 y 5 nos quedamos con la intersección de dos prismas de los tres anteriores, observamos que respectivamente se genera la bipirámide 8, 7 y 6, de forma correspondiente.

Mientras en el número 9 observamos la intersección de dos tres prismas del número 2, como sabemos por el ejercicio anterior es un poliedro de Catalan llamado rombododecaedro.

En el número 11 podemos observar como al rombododecaedro le hemos cortado las pirámides de manera que obtenemos el octaedro regular del número 12, ya con el despiece de las pirámides laterales.

 En el número 10 observamos la perspectiva del rombododecaedro y en el número 1 observamos los tres prismas separados con su disposición conforme a la posición de los ejes cartesianos.

Cambiamos ahora de perspectiva y observamos los mismos prismas en el lado izquierdo y los mismos números que los anteriores pero en color negro, son exactamente las mismas figuras pero bajo otra perspectiva.  Es curioso en el número 9 como la proyección del rombododecaedro es  una figura con apariencia de cubo en axonométrica isométrica.

24- En el borde superior izquierdo podemos ver la planta y alzado de 4 tetraedros que forman entre si iguales ángulos, estas figuras se han obtenido a partir de uno de los tetraedros, por ejemplo el de color rojo, imaginamos que el eje de revolución es una recta vertical que pasa por el punto medio de 2 aristas opuestas. Al hacer un giro de esta figura y rotar los 360° dejamos el registro de 4 figuras incluida la primera obteniendo ese poliedro compuesto cuya planta es un polígono estrellado en su contorno. 

Al hacer la intersección de los 4 tetraedros regulares obtenemos la dipirámide que aparece a su derecha en el centro de la figura. Más a su derecha tenemos el conjunto de los tetraedros superpuestos a la intersección de los mismos, todas las figuras superpuestas están en modo alámbrico para que se vea la coincidencia de los puntos. 

En la parte inferior del dibujo podemos ver varias perspectivas del poliedro compuesto y de su intersección.

25- En el centro superior de la figura podemos observar un cubo en varios colores: amarillo, verde, rojo y azul, esos colores corresponden a las pirámides que se forman al seccionar el cubo de manera que el plano de corte pasa por 3 vértices del mismo, si separamos las cuatro pirámides que produce el corte obtenemos un tetraedro regular por el que trazamos un eje vertical centrado en la figura y que incide en los puntos medios de las aristas.

Al hacer el giro del tetraedro dejamos registro de otro tetraedro siendo el nuevo tetraedro un poliedro simétrico central respecto al centro de la figura.

En el borde superior derecho observamos los dos tetraedros entrelazados y más a su derecha la intersección de ambos tetraedros regulares, que es una dipirámide.

 En el borde izquierdo de la figura podemos observar el tetraedro en color rojo y las pirámides desplegadas del despiece de manera que las cuatro figuras desencajadas del tetraedro formarían con él un cubo, tal y como vimos en la descripción del cubo de colores.

 Por la parte inferior del dibujo observamos tres perspectivas del poliedro compuesto de dos tetraedros y a su derecha dos perspectivas del octaedro regular de la intersección de ambos tetraedros los anteriores, como podemos observar el octaedro regular es una dipirámide.

26- En el extremo derecho de la imagen podemos observar un cubo con su diagonal principal como eje entre vértices opuestos.

 Al hacer un giro del cubo en una circunferencia completa y dejando registro de 2 hasta 9 cubos obtenemos los poliedros compuestos que aparecen en la parte inferior del dibujo. Como podemos observar 2 y 6 cubos provocan la misma figura ya que coinciden los ángulos, en el caso del registro de 3 cubos no aparece ya que los 120 grados que giran coinciden con sus vértices provocando una única figura y cuya intersección entre ellas es el mismo cubo, éste es un caso particular del deltoedro donde los deltoides o caras laterales se convierten en la posición límite de rombos que se transforman en cuadrados.

Observamos que en los números pares 2,4,6 y 8 las figuras que se forman son dipirámides  mientras que en los impares son deltoedros, eso es debido a la coincidencia de los vértices extremos alineados en verticales en el primer caso, mientras que cuando esa coincidencia no existe y los vértices están alternos se provoca la figura del deltoedro.

27- En todas estas figuras podemos observar exactamente la misma representación que en las del ejercicio anterior, con la salvedad de que el eje de revolución aparece oblicuo, ello es debido a que hemos cogido el cubo en la posición inicial apoyado en una cara, de manera que el eje forma 45° respecto al plano horizontal, de esta manera todas las figuras que se van obteniendo están en una posición oblicua y el contorno en la planta y alzado se aproxima a una forma cuadrada debido a la posición del cubo original. Lógicamente están en una posición menos inteligible que en el ejercicio anterior salvo en el caso de la izquierda en la que aparecen dos cubos entrelazados en color rojo y amarillo.

28- En el dibujo vuelve a aparecer otra vez la representación del cubo que se gira en torno a su diagonal principal, por la franja superior tenemos los poliedros compuestos en una posición oblicua y por encima las intersecciones que provocan mientras que en la parte inferior obtenemos lo mismo pero considerando el eje de revolución como una línea vertical.

Hay casos en los que el giro de los cubos coinciden con otros cubos, como en el número 9 de esta manera obtenemos menos cubos que los que se forman en el número 8 o en el número 7, pese a ser más cubos, y por tanto el poliedro resultado de la intersección de los mismos tiene menos caras.

 

29- En la figura 1 podemos ver dos pirámides unidas por la base, una dipirámide, como las dos pirámides tienen base cuadrada, podemos girar por ejemplo la verde de manera que el centro de giro está en la base de la figura y sobre el eje e que pasa por los vértices, al hacer un giro a 45° obtenemos la configuración del número 2.

 Si ahora desplazamos por ejemplo la pirámide verde en la trayectoria del eje vertical hasta que coincidan sus aristas laterales con los puntos medios de la base de la pirámide roja  obtenemos la figura que aparece en el número 3.

 Inmediatamente debajo tenemos la figura central pero habiendo quitado la pequeña pirámide verde superior y la pequeña pirámide roja inferior.

 En el número 4 quitamos las pirámides laterales de la configuración anterior y podemos observar las dos pirámides pequeñas encima y debajo,  la figura del medio es la intersección de esos dos fragmentos que quedaban debajo del número 3.

Si cogemos esa figura de intersección y le unimos las dos pirámides pequeñas de color roja y verde obtenemos en su unión la figura número cinco que es en realidad un deltoedro y cuyas proyecciones en planta y alzado aparecen en el número 6.